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Die Zahlen sind 4 und 13.
Ganz einfach

Gruß,
Hamsi

Der Lösungsweg:

Peter kennt das Produkt der beiden Zahlen. Wenn dieses Produkt aus nur zwei Primfaktoren bestehen würde, könnte er die beiden Zahlen bestimmen. Genauso könnte er die Zahlen bestimmen, wenn ein Primfaktor größer als 50 vorkommen würde. Simon weiß, dass das für das Produkt nicht zutrifft. Daher muss die Summe eine Zahl sein, die sich nicht in zwei Primzahlen als Summanden zerlegen lässt. Außerdem muss die Summe kleiner als 55 sein, da sonst ein Primfaktor größer 50 (55=53+2) vorkommen könnte.

Durch diese Einschränkungen kann die Summe nur eine der folgenden Zahlen sein:
11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53

Da Peter diese Information von Simon bekommt, kann er jetzt wesentlich mehr Produkte aufspalten; z.B. müssen alle vorkommenden Primfaktoren 2 in einer Zahl stecken, da nur ungerade Summen vorkommen und daher ein ungerader und ein gerader Summand auftreten muss.

Da Simon, nachdem er weiß, dass Peter das Produkt nun aufspalten konnte, die Zahlen auch kennt, darf es nur eine Möglichkeit geben, die Peter zu diesem Schluss bringen kann. Dadurch fallen weitere Summen weg. Zunächst die Fälle, in denen die Zahl auf zwei Arten in eine Primzahl und eine Zweierpotenz zerlegbar ist:

11 = 3+8 = 7+4
23= 7+16 = 19+4
27= 9+18 = 11+16
35= 31+4 = 19+16
37= 29+8 = 5+32
47= 43+4 =31+16
53= 47+4 = 43+8

Nun bleiben also noch: 17, 29, 41, 53.

Die 29 lässt sich aufteilen in 13 + 16 und in 8+21 = 8+ 3x7 . Die zweite Aufspaltung hätte Peter auch finden können, da 8 x 3 +7nicht in den möglichen Summen auftrat und 8 x 7 + 3 zu groß ist.

Bei der 41 ist es ähnlich: 41 = 37 + 4 und 41 = 16 + 25 = 16 + 5 X 5, 5 X 16 ist zu groß.

Auch die 53 hat mehrere mögliche Aufspaltungen: 53 = 37 + 16 und 53 = 32 + 21 = 32 + 3 X 7, wobei sowohl 32 X 3 als auch 32 X 7 zu groß sind.

Die einzige Summe, die übrigbleibt, ist die 17. Hier bleibt nun noch zu überprüfen, ob es nur eine (Summen-)Aufteilung gibt, bei der Peter die Produktzerlegung finden konnte:
2 + 15 = 2 + 3 X 15; auch möglich: 2 X 3 + 5 (11 ist gültige Summe)
3 + 14 = 3 + 2 X 7; auch möglich: 3 X 7 + 2 = 23
4 + 13: Peter kann die Zahlen finden.
5 + 12...
6 + 11 ...
7 + 10...
8 + 9 ...


Die einzige Möglichkeit für die Summe ist also 17, und die Zahlen müssen 4 und 13 sein.

So einfach ist das